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Streuungsmaße

  1. Spannweite $ SP$

    $\displaystyle SP = x_{max} - x_{min}$    

    $ x_{max}$ = größter Wert von $ X$
    $ x_{min}$ = kleinster Wert von $ X$

  2. Varianz $ s^2$ in einer Stichprobe

    1. Rohdaten

      $\displaystyle s^2=\frac{{\sum \limits_{i=1}^{n}} (x_i-\bar x)^2}{n-1} = \frac{SAQ_x}{n-1}$    

      $ n$ = Anzahl der Untersuchungseinheiten
      $ i$ = Laufindex über die Untersuchungseinheiten $ (i=1,\dots,n$)
      $ x_i$ = Wert der Variablen $ X$ bei der Untersuchungseinheit $ i$
      $ \bar x$ = arithmetisches Mittel von $ X$
      $ SAQ_x$ = Summe der Abweichungsquadrate von $ X$

    2. gruppierte Daten

      $\displaystyle s^2=\frac{{\sum \limits_{k=1}^{m}} (x_k-\bar x)^2 \cdot f_{k}}{n-1} = \frac{GSAQ_x}{n-1}$    

      $ m$ = Anzahl der Kategorien von $ X$
      $ k$= Laufindex über die Kategorien $ (k=1,\dots,m)$
      $ x_k$ = Wert der Ausprägung $ X=k$
      $ \bar x$ = arithmetisches Mittel von $ X$
      $ f_{k}$ = Häufigkeit der Ausprägung $ X=k$
      $ n$ = Anzahl der Untersuchungseinheiten
      $ GSAQ_x$ = gewichtete Summe der Abweichungsquadrate von $ X$

    3. klassifizierte Daten

      $\displaystyle s^2=\frac{{\sum \limits_{l=1}^{m}} (\bar x_l - \bar x)^2 \cdot f_l}{n-1} = \frac{GSAQM_x}{n-1}$    

      $ m$ = Anzahl der Klassen von $ X$
      $ l$ = Laufindex über die Klassen $ (l=1,\dots,m)$
      $ \bar x_l$ = Klassenmitte der $ l$-ten Klasse von $ X$
      $ \bar x$ = arithmetisches Mittel von $ X$
      $ f_l$ = Häufigkeit der $ l$-ten Klasse von $ X$
      $ n$ = Anzahl der Untersuchungseinheiten
      $ GSAQM_x$ = gewichtete Summe der Abweichungsquadrate von den Klassenmitten

  3. Standardabweichung $ s$ in einer Stichprobe

    $\displaystyle s=\sqrt{s^2}$    

    $ s^2$ = Varianz von $ X$

  4. Varianz $ \sigma^2$ und Standardabweichung $ \sigma $ in einer Totalerhebung

    ...werden wie $ s^2$ und $ s$ berechnet, nur wird durch $ n$ statt durch $ (n-1)$ geteilt. Beispiel Varianz:

    $\displaystyle \sigma^2=\frac{{\sum \limits_{i=1}^{n}} (x_i-\bar x)^2}{n}\qquad$    


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HJA 2001-10-01