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Lineare Einfachregression

  1. Regressionskoeffizient $ b_1$

    $\displaystyle b_1=\frac{SAP_{xy}}{SAQ_x}=\frac{{\sum \limits_{i=1}^{n}} \left( ...
...eft( y_i-\bar y \right)}{{\sum \limits_{i=1}^{n}}{\left( x_i-\bar x \right)}^2}$    

    $ SAP_{xy}$ = Summe der Abweichungsprodukte von $ X$ und $ Y$
    $ {SAQ}_x$ = Summe der Abweichungsquadrate von $ X$
    $ x_i$ = Wert von $ X$ bei der Untersuchungseinheit $ i$
    $ \bar x$ = arithmetisches Mittel von $ X$
    $ y_i$ = Wert von $ Y$ bei der Untersuchungseinheit $ i$
    $ \bar y$ = arithmetisches Mittel von $ Y$

  2. Regressionskonstante $ b_0$

    $\displaystyle b_0=\bar y- b_1 \bar x$    

    $ \bar y$ = arithmetisches Mittel von $ Y$
    $ b_1$ = Regressionskoeffizient der Variablen $ X$
    $ \bar x$ = arithmetisches Mittel von $ X$

  3. Schätzgleichung

    $\displaystyle \hat y_i= b_0 + b_1 x_i$    

    $ \hat y_i$ = Schätzwert von $ Y$ für die Untersuchungseinheit $ i$
    $ b_0$ = Regressionskonstante
    $ b_1$ = Regressionskoeffizient der Variablen $ X$
    $ x_i$ = Wert von $ X$ bei der Untersuchungseinheit $ i$

  4. Determinationskoeffizient $ R^2$

    $\displaystyle R^2=\frac{ESAQ_y}{SAQ_y}=\frac{{\sum \limits_{i=1}^{n}} {\left( \hat y_i-\bar y \right)}^2}{{\sum \limits_{i=1}^{n}}{\left( y_i-\bar y \right)}^2}$    

    oder:

    $\displaystyle R^2=1-{\frac{USAQ_y}{SAQ_y}}=1-\frac{{\sum \limits_{i=1}^{n}} {\l...
...its_{i=1}^{n}} {e_i}^2}{{\sum \limits_{i=1}^{n}} {\left( y_i-\bar y \right)}^2}$    

    $ SAQ_y$ = Summe der Abweichungsquadrate von $ Y$
    $ ESAQ_y$ = erklärte Summe der Abweichungsquadrate von $ Y$
    $ USAQ_y$ = unerklärte Summe der Abweichungsquadrate von $ Y$
    $ \hat y_i$ = Schätzwert von $ Y$ für die Untersuchungseinheit $ i$
    $ \bar y$ = arithmetisches Mittel von $ Y$
    $ y_i$ = Wert von $ Y$ bei der Untersuchungseinheit $ i$
    $ e_i = {\left(y_i-\hat y_i \right)}$ = Residuum der Untersuchungseinheit $ i$

    Wertebereich: $ 0\leq R^2\leq 1$


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HJA 2001-10-01