Beispiele: Wenn man einen Intelligenztest an einer repräsentativen Stichprobe normiert, unterstellt man häufig eine Normalverteilung der Testpunkte, die die Untersuchungspersonen bei dem Test erzielen. Die Testrohwerte werden für jede Altersgruppe so transformiert, daß sich ein durchschnittlicher Punktwert von 100 und eine Standardabweichung von 15 ergibt. Nach dieser Normierung kann der Test für diagnostische Zwecke verwendet werden. Wenn beispielsweise eine Person, deren Intelligenz diagnostiziert werden soll, insgesamt 113 Testpunkte erzielt, betrachtet man die Wahrscheinlichkeit, ein solches Testergebnis zu erreichen, um zu beurteilen, wie überdurchschnittlich intelligent die Person ist. In dem Beispiel geht es also um die Wahrscheinlichkeit, maximal einen Punktwert von zu erreichen, wenn die Verteilung aller Punktwerte einer Normalverteilung folgt, durchschnittlich einen Wert von
Punkten aufweist und die Varianz aller Punktwerte
25 beträgt.
Zusammengefaßt ist die »Dichtefunktion«
der Normalverteilung von zwei Parametern
und
abhängig, die das Zentrum und die Streuung der Verteilung (den Aufsetzpunkt und die Weite der Glocke) steuern. Sie entsprechen dem »Erwartungswert« und der »Varianz« der normalverteilten Zufallsvariablen
. Der Definitionsbereich von
ist im Prinzip unbegrenzt:
.
Durch geeignete Wahl der Parameter und
kann man die Normalverteilung auf durchschnittlich große oder kleine bzw. auf stark oder wenig streuende Zufallsvariablen anwenden. Die Normalverteilung mit den Parametern
und
bezeichnet man als Standardnormalverteilung. Ihre »Verteilungsfunktion« liegt in »tabellierter Form« vor. Standardnormalverteilte Zufallsvariablen werden auch mit
abgekürzt, und die Standardnormalverteilung wird dementsprechend auch als
-Verteilung bezeichnet. Jede andere Normalverteilung mit Parametern
und
kann jedoch durch eine »
-Transformation« in eine Standardnormalverteilung überführt werden. Für alle Normalverteilungen gelten folgende charakteristische Wertebereiche:
Für Konfidenzintervalle und statistische Tests ist eine »Tabelle« der inversen »Verteilungsfunktion« der Standardnormalverteilung hilfreich.
zeigt für ausgewählte Wahrscheinlichkeiten
die entsprechenden Quantile der Standardnormalverteilung.
Beispiele: Man möchte wissen, in welchem Bereich die unteren 95% aller -Werte liegen. Aus der Tabelle entnimmt man für
das 95%-Quantil 1,645. Die unteren 95% aller
-Werte liegen also im Bereich von
bis einschließlich 1,645. Anders ausgedrückt: 5% aller
-Werte sind größer als 1,645.
Notation:
bezeichnet die Dichtefunktion der Normalverteilung,
die inverse Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.