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Verteilungsmodell

Die Verteilungen vieler empirischer »Variablen« haben bestimmte typische Eigenschaften, die mit entsprechenden statistischen Verteilungsmodellen beschrieben werden können. Die Bezeichnung Modell soll zum Ausdruck bringen, daß diese statistische Beschreibung unabhängig von empirischen Daten anhand von Zufallsexperimenten entwickelt wurde, sozusagen $ \dq$im Labor$ \dq$ des Statistikers. Sie werden daher auch manchmal als theoretische Verteilungen bezeichnet. Ein solches Modell zeigt dem Anwender statistischer Methoden, wie seine empirischen Daten aussehen müßten, wenn die zugrundeliegende Verteilung bestimmte typische Eigenschaften aufweisen würde. Es kann sowohl als Vergleichsfolie als auch als Schablone verwendet werden, die von den Unregelmäßigkeiten empirischer Daten abstrahiert.

Beispiele: Carl Friedrich Gauss (1777-1855) stellte bei der Landesvermessung fest, daß die wiederholte Messung ein- und derselben Distanz aufgrund von Meßfehlern unterschiedliche Werte ergab. Die Verteilung der Meßwerte hatte stets eine symmetrische glockenförmige Form, für deren Beschreibung er die Normalverteilung entwickelte. Wählt man aus dem Melderegister einer Gemeinde zufällig hundert Personen aus, kann die Anzahl der ausgewählten Frauen zwischen 0 und 100 variieren. Zieht man viele weitere Stichproben und notiert jeweils die Anzahl der ausgewählten Frauen, kann man angeben, wie häufig keine, eine, zwei, drei usw. Frauen ausgewählt wurden. Die Verteilung dieser Häufigkeiten gleicht näherungsweise einer hypergeometrischenVerteilung.

Es gibt Verteilungsmodelle für diskrete und für kontinuierliche »Zufallsvariablen«. Dabei wird jeweils eine mathematische Funktion spezifiziert, die entweder bei diskreten Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ausprägungen oder bei kontinuierlichen Zufallsvariablen die Dichte der Werte mißt. Anders ausgedrückt: Ein Verteilungsmodell besteht aus der Spezifikation entweder einer »Wahrscheinlichkeits-« oder einer »Dichtefunktion«. Ist diese Funktion bekannt, kann sowohl der »Erwartungswert« als auch die (erwartete) »Varianz« der Werte berechnet werden. Darüber hinaus können die Prozentanteile bestimmter Wertebereiche bestimmt werden. Die entsprechenden Perzentile der jeweiligen »Verteilungsfunktion« können für die wichtigsten Modelle in Tabellenwerken nachgeschlagen werden.


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HJA 2001-10-01