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Mathematische Funktionen

Unter einer Funktion $ y=f(x)$ (engl.: function) versteht ein Mathematiker eine veränderliche Größe $ y$, die von einer anderen veränderlichen Größe $ x$ abhängt. In der Statistik spielen Funktionen an verschiedenen Stellen eine Rolle. Hier soll kurz auf Funktionen im Rahmen von »Regressionsanalysen« eingegangen werden, also auf statistische Modelle, die der Vorhersage einer »abhängigen Variablen« $ Y$ durch eine »unabhängige Variable« $ X$ dienen.

Die einfachste Funktion ist die sogenannten Geradengleichung $ y= a + b x$. Der Name dieser Funktion ist darauf zurückzuführen, daß der Graph dieser Funktion in einem $ x$-$ y$-Koordinatenkreuz einer Geraden entspricht. Die Lage dieser Geraden im Koordinatenkreuz hängt von den konkreten Werten der beiden Parameter $ a$ und $ b$ ab. Sie werden auch als y-Achsenabschnitt und Steigungsmaß bezeichnet (engl.: intercept, slope). Die Funktion $ y= 3 + 2 x$ schneidet die $ y$-Achse bei $ y=3$ und steigt mit jeder Einheit in $ x$-Richtung um $ \Delta y=2$ Einheiten. Weil dieser Zuwachs bei jeder Einheit in $ x$-Richtung gleich ist (nur so ergibt sich eine Gerade), spricht man auch von einer linearen Funktion. $ y= a + b x^{2}$ ist eine nicht-lineare Funktion, weil die Zuwächse immer größer werden. In der Statistik werden häufig lineare Funktionen verwendet, weil sie sich mathematisch sehr einfach handhaben lassen. Auch wenn lineare Funktionen nicht in jeder sozialwissenschaftlichen Anwendung angemessen sind, können sie jedoch in vielen Fällen zumindest als erste Näherung verwendet werden.

Da sozialwissenschaftliche Erklärungen häufig multikausal angelegt sind, sind Funktionen von Interesse, in denen mehrere $ x$-Variablen vorkommen. Deren jeweiliger Einfluß auf die abhängige Variable kann entweder mit den Werten der anderen unabhängigen Variablen variieren oder von diesen unabhängig sein, je nachdem, ob man die Funktion additiv oder multiplikativ formuliert. In der Funktion $ y= -2 + 3 x_{1} + 6 x_{2}$ hat jede Veränderung von $ x_{1}$ um eine Einheit einen Zuwachs von $ y$ um $ 3$ Einheiten zur Folge, egal welchen Wert $ x_{2}$ aufweist. In der Funktion $ y= 2 x_{1} x_{2}$ hat dagegen jede Veränderung von $ x_{1}$ um eine Einheit nur dann einen Zuwachs von $ y$ um $ 2$ Einheiten zur Folge, wenn $ x_{2}$ den Wert $ 1$ aufweist. Hat aber $ x_{2}$ den Wert $ 4$, dann verändert sich $ y$ jeweils um $ 8$ Einheiten.


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HJA 2001-10-01