Durch ein ähnliches Gedankenexperiment kann man sich das Zustandekommen des multiplen Regressionskoeffizienten für die Variable
vorstellen. Jetzt fungiert
als Drittvariable, und es werden konditionale Regressionsmodelle in den durch
definierten Subgruppen berechnet. In beiden Fällen handelt es sich jedoch um ein Gedankenexperiment, das den Grundgedanken der statistischen Kontrolle verdeutlichen soll. Die tatsächliche Berechnung der multiplen Regressionskoeffizienten beruht auf einem effizienteren Algorithmus.
Eine weitere Schwierigkeit kommt hinzu: Hat ebenso wie
und
viele Ausprägungen, dann ist eine Berechnung konditionaler Regressionsmodelle nicht mehr möglich. Es gibt zu viele Subgruppen, die häufig nur aus einer Untersuchungseinheit bestehen, so daß mangels einer entsprechenden Anzahl von Beobachtungen keine (konditionale) Regression für die entsprechende Subgruppe berechnet werden kann. Man muß daher gleich zur Berechnung des partiellen Regressionskoeffizienten kommen und dazu die Informationen aus den verschiedenen Subgruppen so miteinander kombinieren, daß sich ein
durchschnittlicher
Effekt von
auf
über die verschiedenen Subgruppen, also unter Kontrolle von
, ergibt.
Die Kontrolle der Drittvariablen bezeichnet man auch als Auspartialisieren (daher auch die Bezeichnung partieller Regressionskoeffizient). Folgende Identität für das trivariate Regressionsmodell macht deutlich, was damit gemeint ist. Angenommen, man berechnet eine Regression der unabhängigen Variablen auf die Drittvariable
:
.
seien die Residuen dieser Regression, also die Teile der Variablen
, die nicht durch die Drittvariable
erklärt werden können. Berechnet man in einem zweiten Schritt eine bivariate Regression der abhängigen Variablen
auf diese Residuen von
, dann entspricht der Regressionskoeffizient dieser bivariaten Regression dem multiplen Regressionskoeffizienten
der trivariaten Regression:
. Anders ausgedrückt: Der multiple bzw. partielle Regressionskoeffizient einer unabhängigen Variablen
mißt den Einfluß der Bestandteile dieser Variablen, die nicht durch die anderen Variablen des Regressionsmodells (hier:
) erklärt werden können. Auspartialisieren meint also: um die durch die anderen Variablen erklärten Anteile bereinigen.