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Determinationskoeffizient $ R^{2}$

Der Determinationskoeffizient $ R^{2}$ (engl.: coefficient of determination) ist ein Maß für die Abweichungen der Vorhersagen eines »Regressionsmodells« von den empirischen Daten - kurz: ein Maß für die Modellanpassung. Konkret entspricht $ R^{2}$ dem Anteil der »Variation« der Modellvorhersagen, der sogenannten erklärten Summe der Abweichungsquadrate, an der Variation der beobachteten Werte der abhängigen Variablen, der sogenannten Gesamtsumme der Abweichungsquadrate. $ R^{2}$ kann als Anteil erklärter Varianz interpretiert werden und nimmt Werte zwischen 0 und $ 1$ an. $ R^{2}=0$ bedeutet, daß die unabhängigen Variablen keine Vorhersage der Zielvariablen erlauben. $ R^{2}=1$ weist auf eine perfekte Modellanpassung hin. Alternativ zu der Bezeichnung Determinationskoeffizient wird auch der Begriff Bestimmtheitsmaß verwendet.

Beispiele: Die Humankapitaltheorie unterstellt, daß das durch Ausbildung entgangene Einkommen sowie die Ausbildungskosten im späteren Berufsleben durch höhere Einkommen ausgeglichen werden. Ein Mehr an Ausbildung führt zu einem höheren Einkommen im Beruf. Entsprechende Regressionen mit Daten der Volks- und Berufszählung 1970 und der Mikrozensen von 1978 und 1982 führen zu Determinationskoeffizienten zwischen 0,224 und 0,278.[*] Mit anderen Worten: Mit Hilfe der Variablen Ausbildung können 22,4 bis 27,8% der Varianz der Einkommen erklärt werden.

Umgekehrt kann man auch den Anteil der Quadratsumme der Residuen $ e_{i}$, die sogenannte Residualvariation, an der Gesamtvariation berechnen. Diese Statistik bezeichnet man als Alienationskoeffizient oder Unbestimmtheitsmaß. Determinations- und Alienationskoeffizient addieren sich jeweils zu $ 1$.

Notation: $ R^{2}$ in der Stichprobe, $ \rho^{2}$ (griech.: rho) in der Grundgesamtheit.


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HJA 2001-10-01