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Mittelwerte

  1. Modus $ x_{Mo}$

    1. Rohdaten

      $\displaystyle x_{Mo}=$häufigster Wert    

    2. klassifizierte Daten

      $\displaystyle x_{Mo}=\bar x_{Mo}$    

      $ \bar x_{Mo}$ = Klassenmitte der häufigsten Klasse

  2. Median $ \tilde x$

    1. Rohdaten

      bei ungerader Anzahl von Untersuchungseinheiten:

      $\displaystyle \tilde x = x_{(\frac{n+1}{2})}$    

      bei gerader Anzahl von Untersuchungseinheiten:

      $\displaystyle \tilde x = \frac{x_{(\frac{n}{2})} + x_{(\frac{n}{2}+1)}}{2}$    

      $ n$ = Anzahl der Untersuchungseinheiten
      $ x_{(r)}$ = Merkmalsausprägung der Untersuchungseinheit auf dem r-ten Rangplatz der geordneten Liste aller Untersuchungseinheiten (z.B. $ r = (n+1) / 2$ bei ungerader Anzahl)

    2. klassifizierte Daten

      $\displaystyle \tilde x = c_{mu} + \frac{(n/2 - cf_u) \cdot (c_{mo}-c_{mu})}{f_m} = c_{mu} + \frac{(0,5 - cp_u) \cdot (c_{mo}-c_{mu})}{p_m}$    

      $ n$ = Anzahl der Untersuchungseinheiten
      $ [c_{mu}, c_{mo})$ = Medianintervall (= Intervall, in dem der Prozentrang 50% überschritten wird)
      $ c_{mu}$ = untere Grenze des Medianintervalls
      $ c_{mo}$ = obere Grenze des Medianintervalls
      $ cf_u$ = kumulierte Häufigkeit unterhalb des Medianintervalls ( $ cf_u < n/2$)
      $ f_m$ = Häufigkeit im Medianintervall
      $ cp_u$ = kumulierter Anteil unterhalb des Medianintervalls ( $ cp_u < 0,5$)
      $ p_m$ = Anteil des Medianintervalls

  3. Arithmetisches Mittel $ \bar x$

    1. Rohdaten

      $\displaystyle \bar x = \frac{{\sum \limits_{i=1}^{n}} x_i}{n}$    

      $ n$ = Anzahl der Untersuchungseinheiten
      $ i$ = Laufindex über die Untersuchungseinheiten $ (i=1,\dots,n$)
      $ x_i$ = Wert der Variablen $ X$ bei der Untersuchungseinheit $ i$

    2. gruppierte Daten

      $\displaystyle \bar x=\frac{{\sum \limits_{k=1}^{m}}(x_k \cdot f_{k})}{n}$    

      $ m$ = Anzahl der Kategorien von $ X$
      $ k$ = Laufindex über die Kategorien $ (k=1,\dots,m)$
      $ x_k$ = Wert der Ausprägung $ X=k$
      $ f_{k}$ = Häufigkeit der Ausprägung $ X=k$
      $ n$ = Anzahl der Untersuchungseinheiten

    3. klassifizierte Daten

      $\displaystyle \bar x=\frac{{\sum \limits_{l=1}^{m}}(\bar x_l \cdot f_l)}{n}$    

      $ m$ = Anzahl der Klassen von $ X$
      $ l$ = Laufindex über die Klassen $ (l=1,\dots,m)$
      $ \bar x_l$ = Klassenmitte der $ l$-ten Klasse von $ X$
      $ f_l$ = Häufigkeit der $ l$-ten Klasse von $ X$
      $ n$ = Anzahl der Untersuchungseinheiten


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HJA 2001-10-01