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Dichtefunktion

Um einen visuellen Eindruck von der Verteilung einer »kontinuierlichen Zufallsvariablen« $ X$ zu erhalten, kann man nicht auf die »Wahrscheinlichkeitsfunktion« zurückgreifen, denn diese ist nicht für kontinuierliche Zufallsvariablen definiert. Man verwendet alternativ die sogenannte Dichtefunktion $ f(x)$ (engl.: density function). Wie der Name andeutet, zeigt diese Funktion, in welchen Teilen des Definitionsbereiches der Zufallsvariablen sich die Werte am dichtesten scharen. Möchte man anhand dieser Funktion die Wahrscheinlichkeit bestimmen, daß die Zufallsvariable $ X$ einen Wert innerhalb eines bestimmten Intervalls $ [a,b]$ aufweist, dann entspricht diese Wahrscheinlichkeit der Fläche unterhalb der Dichtefunktion zwischen den Grenzen $ a$ und $ b$ ($ \dq$unterhalb$ \dq$ meint die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse). Da die Wahrscheinlichkeit, daß eine Zufallsvariable irgendeinen Wert innerhalb ihres Definitionsbereiches aufweist, bekanntlich gleich 1 ist, entspricht die Gesamtfläche unterhalb einer Dichtefunktion immer dem Wert 1.

Die Herleitung der Dichtefunktion setzt Kenntnisse der Differential- und Integralrechnung voraus. Sie entspricht der Ableitung der »Verteilungsfunktion«: $ f(x) = dF(x)/dx$. Umgekehrt ergibt sich die Verteilungsfunktion durch Integration der Dichtefunktion: $ F(x) = \int f(x) \cdot dx$. Integralrechnung beschäftigt sich, vereinfacht gesprochen, mit der Bestimmung von Flächen unterhalb von Funktionen. Wenn man also die Fläche unterhalb der Dichtefunktion vom unteren Ende des Definitionsbereiches der Zufallsvariablen bis zur Stelle $ x$ berechnet, dann bestimmt man den Wert der Verteilungsfunktion, sprich: die Wahrscheinlichkeit, daß die Zufallsvariable maximal den Wert $ x$ aufweist.

Aus dieser Erkenntnis ergibt sich eine einfache Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, daß die Zufallsvariable $ X$ einen Wert innerhalb eines bestimmten Intervalls $ [a,b]$ aufweist (diese Wahrscheinlichkeit entspricht der Fläche unter der Dichtefunktion zwischen den Grenzen $ a$ und $ b$). Anhand der Verteilungsfunktion bestimmt man einmal die Wahrscheinlichkeit, daß $ X$ maximal den Wert $ a$ aufweist, und dann die Wahrscheinlichkeit, daß $ X$ maximal den Wert $ b$ aufweist. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht der Differenz dieser beiden Werte:

$\displaystyle W(a \leq X \leq b) = W(X \leq b) - W(X \leq a) = F(b) - F(a)$    

Merke: Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Wertebereichen für kontinuierliche Zufallsvariablen verwendet man praktischerweise immer die Verteilungsfunktion. Sie kann in entsprechenden »Tabellenwerken« nachgeschlagen werden. Die Dichtefunktion hat vor allem die Funktion, einen visuellen Eindruck der Verteilung zu geben.

Notation: $ f(x)$.


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HJA 2001-10-01