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Anzahl möglicher Zufallsstichproben

Wie viele unterschiedliche »einfache Zufallsstichproben« aus einer »Grundgesamtheit« gezogen werden können, kann mit den Mitteln der Kombinatorik bestimmt werden. Für die meisten sozialwissenschaftlichen Anwendungen ist eine Berechnung mit dem sogenannten Binomialkoeffizienten möglich:

$\displaystyle {N \choose n} = \frac{N!}{n\,! \cdot (N-n)!}$    

Mit der angegebenen Formel (sprich: $ N$ über $ n$) läßt sich errechnen, wie viele unterschiedliche Stichproben vom Umfang $ n$ aus einer Grundgesamtheit vom Umfang $ N$ gebildet werden können, wenn ohne Zurücklegen ausgewählt wird (vgl. »Auswahltechnik«) und die Reihenfolge der Stichprobenelemente keine Rolle spielt. Um die Formel anwenden zu können, muß man mit dem mathematischen Konzept der »Fakultät« vertraut sein.

Beispiele: Besteht die Grundgesamtheit aus den $ N=4$ Einheiten A, B, C und D, dann können daraus laut Formel $ 4!/(2!\cdot 2!)=6$ verschiedene Stichproben vom Umfang $ n=2$ gezogen werden: AB, AC, AD, BC, BD und CD. In keiner der sechs Stichproben kommt eines der Elemente doppelt vor (Auswahl ohne Zurücklegen), und die beiden Stichproben AB und BA, die sich durch die Auswahlreihenfolge der Elemente unterscheiden, werden als gleich betrachtet.

Analoge Berechnungsformeln für Stichproben, die mit Zurücklegen gewonnen werden oder bei denen die Auswahlreihenfolge relevant ist, können der folgenden Tabelle entnommen werden:

Reihenfolge ohne Zurücklegen mit Zurücklegen
     
     
relevant $ \frac{N!}{(N-n)!}$ $ N^{n}$
     
irrelevant $ {N \choose n}$ $ {N+n-1 \choose n}$
     


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HJA 2001-10-01