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Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable (engl.: random variable) ist die Zuordnung von Ereignissen eines »Zufallsexperiments« zu Zahlen. Auf diese Weise ist es möglich, die sprachlich beschriebenen Ereignisse des Experiments mit den Hilfsmitteln der Mathematik zu modellieren. Die einzelnen Werte einer Zufallsvariablen bezeichnet man als Realisationen, die Menge aller Realisationen als Definitionsbereich.

Beispiele: Wenn man zwei Münzen auf den Boden wirft, können beide, eine oder gar keine der beiden Münzen ein Wappen zeigen. Für dieses Zufallsexperiment läßt sich die Zufallsvariable $ \dq$Anzahl Wappen$ \dq$ definieren, die dementsprechend die Realisationen 2, 1 und 0 aufweist. Der Definitionsbereich der Zufallsvariablen reicht von 0 bis 2, wobei nur die ganzzahligen Werte zugelassen sind (diskrete Zufallsvariable).

Man unterscheidet diskrete und kontinuierliche (stetige) Zufallsvariablen. Erstere haben endlich viele oder abzählbar unendlich viele Realisationen. Letztere können innerhalb ihres Definitionsbereiches jeden beliebigen Zahlenwert annehmen (schliessen also Dezimalbrüche mit unendlich vielen Nachkommastellen ein). Bei der späteren Analyse geht es häufig um die Wahrscheinlichkeit, daß eine Zufallsvariable einen konkreten Wert aufweist. Für kontinuierliche Zufallsvariablen, die innerhalb ihres Definitionsbereiches unendlich viele verschiedene Werte annehmen können, ist die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen dieser Werte aufgrund der (unendlich) großen Zahl verschwindend klein und in der Grenzbetrachtung gleich 0. Für kontinuierliche Zufallsvariablen ergibt sich nur dann eine Wahrscheinlichkeit größer 0, wenn man mehrere Werte zusammenfaßt, also die Wahrscheinlichkeit bestimmt, daß ein Wert innerhalb eines bestimmten Intervalls auftritt.

Notation: Die Zufallsvariable selbst wird mit Großbuchstaben ($ X$, $ Y$ usw.), ihre Realisationen werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet ($ x$, $ y$ usw.). Auf diese Weise kann man die Wahrscheinlichkeit, daß die Zufallsvariable $ X$ eine bestimmte Realisation hat, in folgender Weise ausdrücken: $ W(X=x)$, z.B. $ W(X=3)$. Für kontinuierliche Zufallsvariablen gilt: $ W(X=x)=0$ und $ W(a \leq x \leq b) \geq$ 0.


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HJA 2001-10-01