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Hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung (engl.: hypergeometric distribution) ist ein Verteilungsmodell für »diskrete Zufallsvariablen«, genauer gesagt: für Zufallsvariablen mit zwei Ausprägungen (im folgenden $ a$ und $ b$ genannt). Hat eine Zufallsvariable mehr als zwei Ausprägungen, muß sie erst geeignet dichotomisiert werden. Konkret geht es bei der hypergeometrischen Verteilung um die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Ausprägung $ a$ in einer »Stichprobe« $ x$ mal vorkommt, wenn diese Stichprobe ohne Zurücklegen ausgewählt wurde (vgl. »Auswahltechnik«).

Beispiele: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß von $ n=10$ Personen einer Stichprobe $ X=3$ Personen Frauen sind, wenn sich in der Grundgesamtheit von $ N=100$ Personen $ M=40$ Frauen befinden und die Stichprobe ohne Zurücklegen ausgewählt wurde?

Zusammengefaßt ist die »Wahrscheinlichkeitsfunktion« $ f_{H}(x\vert N;n;M)$ der hypergeometrischen Verteilung von drei Parametern abhängig: vom Umfang $ N$ der »Grundgesamtheit«, von der Anzahl der Untersuchungseinheiten $ M$, die in der Grundgesamtheit die Ausprägung $ a$ aufweisen, und vom Umfang $ n$ der »Stichprobe«. Die Zufallsvariable $ X$ entspricht der Häufigkeit der Ausprägung $ a$ in der Stichprobe. Sie kann diskrete Werte $ 0, 1, \ldots, n$ annehmen, ihr Definitionsbereich geht also von 0 bis $ n$.

In vielen Fällen interessiert statt der absoluten die relative Häufigkeit der Ausprägung $ a$. Da sich jedoch der »Anteil« $ p$ der Ausprägung $ a$ problemlos aus der Häufigkeit und dem Stichprobenumfang errechnen läßt ($ p=x/n$), geht es dabei nicht um neue Informationen. Wahrscheinlichkeitsfunktion $ f_{H}(x\vert N;n;M)$ und alle daraus abgeleiteten Größen (»Erwartungswert«, »Varianz«) können problemlos in entsprechende Funktionen für Anteilswerte umformuliert werden: $ f_{H}(p\vert N;n;M)$, $ E(p)$, $ Var(p)$.

Notation: $ f_{H}(x\vert N;n;M)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeitsfunktion der hypergeometrischen Verteilung.


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HJA 2001-10-01