Die Herleitung der Dichtefunktion setzt Kenntnisse der Differential- und Integralrechnung voraus. Sie entspricht der Ableitung der »Verteilungsfunktion«:
. Umgekehrt ergibt sich die Verteilungsfunktion durch Integration der Dichtefunktion:
. Integralrechnung beschäftigt sich, vereinfacht gesprochen, mit der Bestimmung von Flächen unterhalb von Funktionen. Wenn man also die Fläche unterhalb der Dichtefunktion vom unteren Ende des Definitionsbereiches der Zufallsvariablen bis zur Stelle
berechnet, dann bestimmt man den Wert der Verteilungsfunktion, sprich: die Wahrscheinlichkeit, daß die Zufallsvariable maximal den Wert
aufweist.
Aus dieser Erkenntnis ergibt sich eine einfache Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, daß die Zufallsvariable einen Wert innerhalb eines bestimmten Intervalls
aufweist (diese Wahrscheinlichkeit entspricht der Fläche unter der Dichtefunktion zwischen den Grenzen
und
). Anhand der Verteilungsfunktion bestimmt man einmal die Wahrscheinlichkeit, daß
maximal den Wert
aufweist, und dann die Wahrscheinlichkeit, daß
maximal den Wert
aufweist. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht der Differenz dieser beiden Werte:
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Merke: Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Wertebereichen für kontinuierliche Zufallsvariablen verwendet man praktischerweise immer die Verteilungsfunktion. Sie kann in entsprechenden »Tabellenwerken« nachgeschlagen werden. Die Dichtefunktion hat vor allem die Funktion, einen visuellen Eindruck der Verteilung zu geben.
Notation: .