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Testverfahren

  1. Einstichprobentest für einen Anteilswert

    Prüfgröße:

    $\displaystyle Z=\frac{p - \theta_0}{\sqrt{\frac{\theta_0(1-\theta_0)}{n}}}$    

    $ p$ = Anteilswert der untersuchten Merkmalsausprägung in der Stichprobe
    $ \theta_0$ = in der Nullhypothese angenommener Anteilswert der Merkmalsausprägung in der Grundgesamtheit
    $ n$ = Umfang der Stichprobe

    Kritischer Wert anhand der inversen Standardnormalverteilung:

    $\displaystyle z_c = Z(\Phi)$    

    $ \alpha $ = vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit
    $ \Phi = 1-\alpha\qquad$ (einseitige Fragestellung)
    $ \Phi = 1-\alpha/2\qquad$ (zweiseitige Fragestellung)

  2. Einstichprobentest für das arithmetische Mittel ($ \sigma $ bekannt)

    Prüfgröße:

    $\displaystyle Z=\frac{\bar x - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$    

    $ \bar x$ = arithmetisches Mittel von $ X$ in der Stichprobe
    $ \mu_0$ = in der Nullhypothese angenommenes arithmetisches Mittel von $ X$ in der Grundgesamtheit
    $ \sigma $ = Standardabweichung von $ X$ in der Grundgesamtheit
    $ n$ = Umfang der Stichprobe

    Kritischer Wert anhand der inversen Standardnormalverteilung:

    $\displaystyle z_c = Z(\Phi)$    

    $ \alpha $ = vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit
    $ \Phi = 1-\alpha\qquad$ (einseitige Fragestellung)
    $ \Phi = 1-\alpha/2\qquad$ (zweiseitige Fragestellung)

  3. Einstichprobentest für das arithmetische Mittel ($ \sigma $ unbekannt)

    Prüfgröße:

    $\displaystyle T=\frac{\bar x - \mu_0}{\frac{\hat \sigma}{\sqrt{n}}}$    

    $ \bar x$ = arithmetisches Mittel von $ X$ in der Stichprobe
    $ \mu_0$ = in der Nullhypothese angenommenes arithmetisches Mittel von $ X$ in der Grundgesamtheit
    $ \hat \sigma = s$ = Standardabweichung von $ X$ in der Stichprobe
    $ n$ = Umfang der Stichprobe

    Kritischer Wert anhand der inversen $ T$-Verteilung:

    $\displaystyle t_c = T(\Phi\vert df)$   mit $\displaystyle df = n-1$    

    $ \alpha $ = vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit
    $ \Phi = 1-\alpha\qquad$ (einseitige Fragestellung)
    $ \Phi = 1-\alpha/2\qquad$ (zweiseitige Fragestellung)

  4. $ T$-Test für Mittelwertunterschiede zwischen zwei unabhängigen Stichproben

    Prüfgröße:

    $\displaystyle T=\frac{(\bar y_1-\bar y_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\hat \sigma_{(\bar y_1-\bar y_2)}}$    mit $\displaystyle \hat \sigma_{(\bar y_1-\bar y_2)} = \sqrt{\frac{\hat \sigma_1^2 \...
...t (n_2-1)}{(n_1-1)+(n_2-1)} \cdot \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)}$    

    $ \bar y_1$ = arithmetisches Mittel von $ Y$ in der Stichprobe mit $ X=1$
    $ \bar y_2$ = arithmetisches Mittel von $ Y$ in der Stichprobe mit $ X=2$
    $ \mu_1$ = in der Nullhypothese angenommenes arithmetisches Mittel von $ Y$ in der Grundgesamtheit mit $ X=1$
    $ \mu_2$ = in der Nullhypothese angenommenes arithmetisches Mittel von $ Y$ in der Grundgesamtheit mit $ X=2$
    $ \hat \sigma_{(\bar y_1-\bar y_2)}$ = geschätzter Standardfehler der Mittelwertedifferenz
    $ \hat \sigma_1^2 = s_1^2$ = Varianz von $ Y$ in der Stichprobe mit $ X=1$
    $ \hat \sigma_2^2 = s_2^2$ = Varianz von $ Y$ in der Stichprobe mit $ X=2$
    $ n_1$ = Umfang der Stichprobe mit $ X=1$
    $ n_2$ = Umfang der Stichprobe mit $ X=2$

    Kritischer Wert anhand der inversen $ T$-Verteilung:

    $\displaystyle t_c = T(\Phi\vert df)$   mit $\displaystyle df = n_1+n_2-2$    

    $ \alpha $ = vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit
    $ \Phi = 1-\alpha\qquad$ (einseitige Fragestellung)
    $ \Phi = 1-\alpha/2\qquad$ (zweiseitige Fragestellung)

  5. Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

    Prüfgröße:

    $\displaystyle X^2 = \sum \limits_{i=1}^{r} \sum \limits_{j=1}^{c} \frac{(f_{ij}-\hat F_{ij})^2}{\hat F_{ij}}$   mit $\displaystyle \hat F_{ij}=\frac{\text{Zeilensumme} \cdot \text{Spaltensumme}}{\text{Gesamtsumme}}=\frac{(f_{i.}) \cdot (f_{.j})}{f_{..}}$    

    $ r$ = Anzahl der Zeilen (rows) der Tabelle
    $ i$ = Laufindex über die Zeilen ( $ i=1, \ldots, r$)
    $ c$ = Anzahl der Spalten (columns) der Tabelle
    $ j$ = Laufindex der Spalten ( $ j=1, \ldots, c$)
    $ f_{ij}$ = beobachtete Häufigkeit der Ausprägungskombination $ ij$
    $ \hat F_{ij}$ = erwartete Häufigkeit der Ausprägungskombination $ ij$

    Kritischer Wert anhand der inversen $ \chi^2$-Verteilung:

    $\displaystyle X^2_c = \chi^2(\Phi\vert df)$   mit $\displaystyle df = (r-1) \cdot (c-1)$    

    $ \alpha $ = vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit
    $ \Phi = 1-\alpha\qquad$ (einseitige Fragestellung)

  6. $ F$-Test für Mittelwertunterschiede zwischen mehr als zwei unabhängigen Stichproben (einfache Varianzanalyse)

    Prüfgröße:

    $\displaystyle F = \frac{SAQZ_y/(g-1)}{SAQI_y/(n-g)} = \frac{\frac{1}{g-1} \cdot...
...ar y_j - \bar y)^2}{\frac{1}{n-g} \cdot {\sum \limits_{j=1}^{g}}(n_j - 1)s_j^2}$    

    $ SAQZ_y$ = Summe der Abweichungsquadrate von $ Y$ zwischen den durch $ X$ definierten Stichproben
    $ SAQI_y$ = Summe der Abweichungsquadrate von $ Y$ innerhalb der durch $ X$ definierten Stichproben
    $ g$ = Anzahl der Stichproben (= Anzahl der Ausprägungen von $ X$)
    $ j$ = Laufindex über die Stichproben $ (j=1,\dots,g$)
    $ n_j$ = Umfang der Stichprobe mit $ X=j$
    $ n$ = Umfang aller Stichproben zusammen
    $ \bar y_j$ = arithmetisches Mittel von $ Y$ in der Stichprobe mit $ X=j$
    $ \bar y$ = arithmetisches Mittel von $ Y$ insgesamt (über alle Stichproben)
    $ s_j^2$ = Varianz von $ Y$ in der Stichprobe mit $ X=j$

    Kritischer Wert anhand der inversen $ F$-Verteilung:

    $\displaystyle f_c = F(\Phi\vert df_1, df_2)$   mit $\displaystyle df_1 = g-1, df_2 = n-g$    

    $ \alpha $ = vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit
    $ \Phi = 1-\alpha\qquad$ (einseitige Fragestellung)
    $ df_1$ = Freiheitsgrade der Zwischenvariation
    $ df_2$ = Freiheitsgrade der Binnenvariation

  7. $ F$-Test für Varianzunterschiede zwischen zwei unabhängigen Stichproben (Prüfung der Varianzhomogenität)

    Prüfgröße:

    $\displaystyle F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$    

    $ s_1^2$ = Varianz von $ Y$ in der Stichprobe mit $ X=1$
    $ s_2^2$ = Varianz von $ Y$ in der Stichprobe mit $ X=2$

    Kritischer Wert anhand der inversen $ F$-Verteilung:

    $\displaystyle f_c = F(\Phi\vert df_1, df_2)$   mit $\displaystyle df_1 = n_1-1, df_2 = n_2-1$    

    $ \alpha $ = vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit
    $ \Phi = 1-\alpha/2\qquad$ (zweiseitige Fragestellung)
    $ n_1$ = Umfang der Stichprobe mit $ X=1$
    $ n_2$ = Umfang der Stichprobe mit $ X=2$
    $ df_1$ = Freiheitsgrade der Zählervarianz (Stichprobe mit $ X=1$)
    $ df_2$ = Freiheitsgrade der Nennervarianz (Stichprobe mit $ X=2$)


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HJA 2001-10-01