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Verteilungsfunktion und Quantile

Ähnlich wie die relative »Summenhäufigkeitsverteilung« einer empirischen Variablen beschreibt die Verteilungsfunktion (engl.: distribution function) die kumulierte Verteilung einer »Zufallsvariablen«. Die Verteilungsfunktion $ F(x)$ mißt die Wahrscheinlichkeit, daß die Zufallsvariable $ X$ höchstens den Wert $ x$ annimmt: $ F(x) = W(X \leq x)$. Da es hierbei immer um die Wahrscheinlichkeit geht, daß $ X$ in einen bestimmten Bereich fällt, ist die Verteilungsfunktion sowohl für diskrete als auch für kontinuierliche Zufallsvariablen definiert.

Häufig interessiert die umgekehrte Fragestellung: Wenn man die unteren $ p$ Prozent aller möglichen Werte der Zufallsvariablen $ X$ betrachtet, welchen Wert $ x_{max}$ dürfen sie maximal aufweisen? Dazu benötigt man die Umkehrung der Verteilungsfunktion, die sogenannte inverse Verteilungsfunktion $ Q(1-\alpha )$, für die gilt: $ Q(1-\alpha ) = x_{max}$ mit $ 1-\alpha =W(X \leq x_{max})$. Ähnlich wie bei empirischen Daten ein Median, ein Quartil oder ein Perzentil einen bestimmten Teil der Verteilung abtrennt (die unteren 50%, das untere Viertel, die unteren 43%), wird hier ein bestimmter Teil einer Verteilung einer Zufallsvariablen abgetrennt. Man nennt daher auch die mit der inversen Verteilungsfunktion berechneten Werte $ x_{max}$ Quantile bzw. Perzentile einer Verteilung.

Notation: $ F(x)$ bezeichnet die Verteilungsfunktion, $ Q(1-\alpha )$ die inverse Verteilungsfunktion.


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HJA 2001-10-01