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$ z$-Transformation

Häufig möchte man die Verteilung einer Variablen $ X$ mit der Verteilung anderer Variablen oder mit einer »Normalverteilung« vergleichen. Das ist schwierig, wenn diese Verteilungen unterschiedliche Zentren und Streuungen, die zu vergleichenden Variablen also unterschiedliche »arithmetische Mittel« und »Standardabweichungen« aufweisen. Durch eine sogenannte $ z$-Transformation (engl.: $ z$ transformation) werden die ursprünglichen Variablenwerte so umgerechnet, daß alle zu untersuchenden Variablen ein arithmetisches Mittel von 0 und eine Standardabweichung von 1 haben, also vergleichbar sind. Man sagt daher auch, daß die Variablen mit Hilfe einer $ z$-Transformation standardisiert wurden. Konkret gibt der $ z$-transformierte Variablenwert an, um wieviele Standardabweichungen der ursprüngliche Wert $ x$ unterhalb oder oberhalb des arithmetischen Mittels liegt. Die Verteilung der $ z$-Werte kann mit einer Standardnormalverteilung verglichen werden.

Beispiele: Eine Variable Einkommen habe das arithmetische Mittel 3.500 DM und eine Standardabweichung von 500 DM. Für einen Einkommenswert von 2.500 DM ergibt sich ein $ z$-Wert von -2 ( $ =(2.500 - 3.500) / 500$). Er besagt, daß der Wert 2.500 DM zwei Standardabweichungen unter dem arithmetischen Mittel liegt. Wäre die Variable $ \dq$normal$ \dq$ verteilt, dürften laut Tabelle der Standardnormalverteilung nur 2,28% aller Merkmalsweite so weit unterhalb des arithmetischen Mittels liegen.


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HJA 2001-10-01