Beispiele: In einer
-Tabelle wird der statistische Zusammenhang zweier kategorialer Variablen
und
gemessen. Pearson
betrage
. Da keine der erwarteten Häufigkeiten kleiner als
ist, ist Pearson
näherungsweise
-verteilt. Bei dem Unabhängigkeitstest geht es um die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, daß bei
Freiheitsgraden in der Tabelle ein
-Wert von
oder größer auftreten kann.
Die -Verteilung wurde von Karl Pearson (1857-1936) entwickelt. Ihre Herleitung muß notwendigerweise abstrakt bleiben: Sind
voneinander unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen, dann besitzt die Quadratsumme
eine
-Verteilung mit
Freiheitsgraden. Da es sich um eine Summe quadrierter Größen handelt, kann
keine negativen Werte annehmen, und folglich ist die
-Verteilung ein Verteilungsmodell für positive kontinuierliche Zufallsvariablen:
.
Zusammengefaßt ist die »Dichtefunktion«
der
-Verteilung nur von einem Parameter abhängig: von der Anzahl der »Freiheitsgrade«
(engl.: degrees of freedom). Der Graph der Dichtefunktion ähnelt dem Profil eines Sandhaufens, den der Wind vor einer Mauer (der
-Achse) aufgetürmt hat. Je größer die Anzahl der Freiheitsgrade, desto mehr verschiebt sich der Gipfel des Sandhaufens nach rechts. Bei
nähert sich die
-Verteilung einer im positiven Wertebereich aufgesetzten Normalverteilung.
Für statistische Tests ist eine »Tabelle« der inversen »Verteilungsfunktion« der -Verteilung notwendig.
zeigt für ausgewählte Wahrscheinlichkeiten
und Freiheitsgrade
die entsprechenden Quantile der
-Verteilung.
Beispiele: Man möchte wissen, in welchem Bereich die unteren 95% aller -Werte bei 2 Freiheitsgraden liegen. Aus der Tabelle entnimmt man für
das 95%-Quantil 5,99. Die unteren 95% aller
-Werte liegen bei 2 Freiheitsgraden also im Bereich von 0 bis einschließlich 5,99. Anders ausgedrückt: 5% aller
-Werte sind bei 2 Freiheitsgraden größer als 5,99.
Notation:
bezeichnet die Dichtefunktion der
-Verteilung,
die entsprechende inverse Verteilungsfunktion.