Beispiele: Im Rahmen der Varianzanalyse wird die Variation der Zielvariablen zwischen den Gruppen () in Relation zur Variation innerhalb der Gruppen (
) betrachtet. Mit Hilfe der
-Verteilung läßt sich entscheiden, ob
signifikant größer als
ist. Dazu betrachtet man den Quotienten der
durchschnittlichen
Variation zwischen und innerhalb der Gruppen.
Durchschnittlich
meint in diesem Fall, daß die jeweilige Variation durch die Anzahl der Freiheitsgrade dividiert wird. Untersucht man beispielsweise
Gruppen mit insgesamt
Untersuchungspersonen, dann ergeben sich
Freiheitsgrade für die Zwischenvariation und
Freiheitsgrade für die Binnenvariation. Die Prüfgröße
ist
-verteilt mit
und
0 Freiheitsgraden, und man kann aus entsprechenden Tabellenwerken ablesen, wie wahrscheinlich es ist, daß die Prüfgröße einen bestimmten Wert überschreitet. Beträgt die Variation zwischen den Gruppen z.B.
und die innerhalb der Gruppen
, dann ergibt sich ein Wert von
. Hierbei handelt es sich um einen relativ großen Wert, denn aus der Verteilungsfunktion der
-Verteilung ergibt sich, daß bei
und
0 Freiheitsgraden nur 13,7% aller
-Werte größer sind.
Formal liegt der -Verteilung folgendes stochastisches Modell zugrunde: Seien
und
zwei voneinander unabhängige Zufallsvariablen, die jeweils einer
-Verteilung mit
bzw.
Freiheitsgraden folgen, dann hat die Zufallsvariable
eine
-Verteilung. Weil hier zwei Zufallsvariablen dividiert werden, die nur positive Werte annehmen, ist der Definitionsbereich der Zufallsvariablen
ebenfalls auf den positiven Bereich beschränkt:
.
Zusammengefaßt ist die »Dichtefunktion«
der
-Verteilung von zwei Parametern abhängig: von den Zählerfreiheitsgraden
und den Nennerfreiheitsgraden
(engl.: degrees of freedom). Der Graph der Dichtefunktion ähnelt dem Graphen der
-Verteilung.
Für statistische Tests ist eine »Tabelle« der inversen »Verteilungsfunktion« der -Verteilung notwendig.
zeigt für ausgewählte Wahrscheinlichkeiten
und Freiheitsgrade
bzw.
die entsprechenden Quantile der
-Verteilung.
Beispiele: Man möchte wissen, in welchem Bereich die unteren 95% aller -Werte bei
und
Freiheitsgraden liegen. Aus der Tabelle entnimmt man für
das 95%-Quantil 9,55. Die unteren 95% aller
-Werte liegen bei
und
Freiheitsgraden also im Bereich von 0 bis einschließlich 9,55. Anders ausgedrückt: 5% aller
-Werte sind bei
und
Freiheitsgraden größer als 9,55.
Notation:
bezeichnet die Dichtefunktion der
-Verteilung,
die entsprechende inverse Verteilungsfunktion.