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Streuungsmaße

Die Streuungsmaße geben an, wie gut oder wie schlecht eine Verteilung durch ein Maß der zentralen Tendenz, zum Beispiel durch den Mittelwert, repräsentiert werden kann.
Liegen alle Messwerte einer Verteilung eng um den Mittelwert, so wird die Verteilung durch diesen Mittelwert gut charakterisiert, streuen die Messwerte weit, so repräsentiert der Mittelwert die vorliegende Verteilung schlecht.

  1. Variationsbreite oder Range
    Dem einfachsten Streuungsmaß, der Variationsbreite kann entnommen werden, in welchem Bereich die Messwerte liegen. Sie wird ermittelt, indem die Differenz aus dem kleinsten und größten Wert gebildet wird.

    Beispiel:
    Messwertreihe: 8, 12, 17, 22, 24, 29, 31, 39, 41
    Range:            41 - 8 = 33


  2. Quartile
    Die Quartile sind die drei Punkte, die eine Verteilung in vier Teile zerlegen, wobei in jedem Teil gleich viele Werte sind. Im 1. Quartil liegen 25 Prozent der Werte, im 2. Quartil 50 Prozent, im 3. Quartil 75 Prozent.


  3. Varianz und Standardabweichung
    Die gebräuchlichsten Maße zur Streuung sind die Varianz und die Standardabweichung. Hier werden alle Werte einer Verteilung einzeln berücksichtigt, indem ihre jeweiligen Abweichungen vom Mittelwert in die Berechnung einbezogen werden.
    In einem ersten Schritt, wird der Mittelwert ermittelt und dann die Beträge der Abweichungen aller Einzelwerte vom Mittelwert errechnet.

    Beispiel:
    Messwertreihe:            66, 68, 59, 46, 58, 65, 49, 58, 52, 56
    Summe der Messwerte: 577
    Anzahl der Messwerte:  10
    Mittelwert, M = 577 :    10 = 57,7



    Je weiter ein Messwert vom Mittelpunkt entfernt ist, um so bedeutsamer ist er für die Bewertung des Mittelwertes. Es ist also sinnvoll die unterschiedlich großen Abweichungen der Messwerte vom Mittelpunkt unterschiedlich stark zu gewichten. Dies wird erreicht, indem in einem zweiten Rechenschritt die Beträge der Abweichungen vom Mittelwert ½X - M½quadriert werden.

    Beispiel:





    Die Varianz (s2) ist die Summe aller Abweichungsquadrate dividiert durch die Anzahl der Werte. Die Standardabweichung ist die positive Wurzel aus der Varianz. Entsprechend wird im letzten Rechenschritt die Standardabweichung berechnet.

    Beispiel:

    Abweichungsquadrate: 68,89; 106,09; 1,69; 136,89; 0,09; 53,29; 75,69; 0,09; 32,49; 2,89
    Summe der Abweichungsquadrate: Summe (X - M)2 = 478,10
    Anzahl der Werte: n = 10
    Varianz: s2 = Summe (X - M) : n = 478,10 : 10 = 47,81
    Standardabweichung: s = Wurzel (s2) = Wurzle (47,81) = 6,91


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